Polinómio de Taylor

O Teorema de Taylor estabelece que (sob certas condições) uma função pode ser aproximada (na proximidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo que o erro que se comete ao substituir a função pelo polinómio seja pequeno. 

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x = a,

http://www.youtube.com/watch?v=_8CWjRbeWW4

Regra de L'hôpital

A regra de l'hospital ou regra de Cauchy foi criada com o objectivo de calcular limites com indeterminações do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito.
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis com g'(x) ≠0,se:

Então se existir,

O video abaixo explica de forma mais concisa a regra de l'hospital:

http://www.youtube.com/watch?v=-TNbOIad3Oc

Primeira e segunda derivada

Extremos e primeira derivada


Podemos utilizar a primeira derivada de uma função para determinar se uma função é crescente ou decrescente num intervalo.
Seja f uma função que admite primeira derivada num intervalo aberto I:

• f'(x)>0,f é crescente em I
• f'(x)<0,f é decrescente em I
• f'(x)=0,f é constante em I

Nos pontos onde a função passa de crescente para decrescente ou vice versa, a função tem um extremo relativo. Os extremos relativos de uma função, incluem os mínimos relativos e os máximos relativos da função.

Se f tem um mínimo ou um máximo relativo em x=c, então ou f'(x)=0 ou f'(x)não esta definido.

Concavidade e a segunda derivada

Podemos utilizar a segunda derivada da função para determinar os intervalos em que as concavidades do gráfico estão voltadas para cima ou para baixo.

Seja f uma função que admite segunda derivada num intervalo aberto I:

• f''(x)>0,f tem concavidade voltada para cima em I
• f'(x)<0,f tem concavidade voltada para baixo em I

Para uma função f contínua, podemos calcular os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (Para uma função descontínua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f’’ (x) é zero ou é não definida.

Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia deve ser utilizada quando queremos calcular a derivada de uma função composta.

Os vídeos abaixo explicam com melhor precisão esta mesma regra: 

http://www.youtube.com/watch?v=IQitdam5vi8

http://www.youtube.com/watch?v=nofMntSlk98

Regras e propriedades de derivação

Regras de derivação de alguns diferentes tipos de funções:

Propriedades de derivação:

Derivadas

Definição de derivada:

Se uma função f é definida num intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0 denotada por f'(x0), é dada por:

Se o limite anterior:

• Existir e for finito, diz-se que f é diferenciavel no ponto x=x0
• Não existir ou for infinito, diz-se que a função não é diferenciavel  no ponto x=x0.

A derivada num ponto f'(x0) é igual ao declive da recta tangente à função no ponto x0.

Se f(x)=mx+b, então f'(x)=m

Para que a derivada num ponto exista é necessário que as suas derivadas laterais sejam iguais:

Derivadas Laterais:

• Derivada á esquerda de um ponto x0

• Derivada à direita de um ponto x0

Os limites laterais utilizam-se sempre que a função estiver definida por ramos e se pretender calcular a derivada no ponto de viragem;

Geometricamente a derivada lateral à esquerda (ou direita) é igual ao declive da recta semitangente à esquerda (ou direita) do ponto.

Notas:

• Uma função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste modo se uma função for descontínua num ponto então nunca terá derivada nesse mesmo ponto;
• Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio;

• Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c;

• Se f é contínua em c, não é necessariamente diferenciável em c.

Teorema do Confronto ou Teorema de Sandwich

Sejam f,g e h três funções tais que f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x≠a.

Se

Então

Exemplo:

A verde e a laranja temos as funções f(x) e g(x) não definidas em x=1, a rosa temos a função g(x) igualmente não definida em x=1.

Sendo:

Então qual é o valor de:

Pelo teorema do confronto: