Derivadas

Definição de derivada:

Se uma função f é definida num intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0 denotada por f'(x0), é dada por:

Se o limite anterior:

• Existir e for finito, diz-se que f é diferenciavel no ponto x=x0
• Não existir ou for infinito, diz-se que a função não é diferenciavel  no ponto x=x0.

A derivada num ponto f'(x0) é igual ao declive da recta tangente à função no ponto x0.

Se f(x)=mx+b, então f'(x)=m

Para que a derivada num ponto exista é necessário que as suas derivadas laterais sejam iguais:

Derivadas Laterais:

• Derivada á esquerda de um ponto x0

• Derivada à direita de um ponto x0

Os limites laterais utilizam-se sempre que a função estiver definida por ramos e se pretender calcular a derivada no ponto de viragem;

Geometricamente a derivada lateral à esquerda (ou direita) é igual ao declive da recta semitangente à esquerda (ou direita) do ponto.

Notas:

• Uma função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste modo se uma função for descontínua num ponto então nunca terá derivada nesse mesmo ponto;
• Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio;

• Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c;

• Se f é contínua em c, não é necessariamente diferenciável em c.