Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

Se

Temos a classe das equações diferenciais separáveis e pode ser resolvida separando as variáveis e integrando.

A solução desta equação e obtida fazendo a mudança de variáveis

de modo que

substituindo (2) em (1), obtemos a EDO de variáveis separáveis:

a qual pode ser resolvida por integração directa.

O video abaixo mostra de forma clara as equações de variáveis separáveis.

http://www.youtube.com/watch?v=EqUlZNfdMdo

Equações Diferenciais Ordinarias

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação da forma

envolvendo uma equação incógnita y=y(x) e as suas derivadas. x é a variável independente e y a variável dependente e o simbolo y^(n) denota a derivada de ordem n da função y=y(x).

Ordem e grau de uma equação diferencial

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação.

Exemplos:

O video abaixo explica de uma maneira simplificada as EDO

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=XrTyH__v7J0

Campo de direcçõe

Em cada ponto (x,y) desenha-se um vector com declive igual a f(x,y). As soluções da equação diferencial serão as curvas tangentes a esses vectores em todos os pontos.

Por exemplo a equação

y'=y+x

produz o seguinte campo:

Teorema do Valor Médio

O teorema do valor médio ou teorema de lagrange afirma que se uma função é contínua num intervalo [a, b]e derivável no intervalo ]a, b[ então existe um c pertencente a  ]a, b[ tal que 

Teorema do valor médio para integrais

Exemplo:

Integral Indefinido

Dada uma função f, o integral indefinido de f (ou primitiva de f), é uma função F cuja derivada é f.

Representamos o integral indefinido (ou primitiva) de f por:

O integral indefinido de uma função não é único. De facto, se F(x) é integral definido de f(x) então F(x)+c também o é.

Integral indefinido imediato 

Dizemos que uma função tem integral indefinido imediato se o podermos calcular imediatamente considerando apenas as derivadas de funções já conhecidas, ou aoós algumas manipulações algébricas simples.

Alguns exemplos:

Integral Indefinido por partes

Integração por factores parciais

Esta técnica é bastante utilizada na resolução de integrais do tipo

Também se pode representar o integral por

Exemplo:

Teorema fundamental do calculo

Seja f(x) uma função real de variável real definida num intervalo [a, b]. Se F(x) é a sua primitiva, então

Exemplo:

Integral Definida

Seja f(x) uma função real de variável real, definida num intervalo [a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n sub intervalos da forma  ∆xi, tais que:

Chama-se soma de Reimann de f(x) em relação à partição P, a toda a expressão da forma

onde xi é um qualquer valor no intervalo ∆xi.

Chama-se Integral Definido de f(x) de a até b, e escreve-se

 

ao limite tal que

Nota: Se tal limite existe então dizemos que f(x) é integrável no intervalo  [a, b].

Propriedades do integral definido:

Antiderivada de uma função

Definição:
Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva ou uma antiderivada de f em I é uma função F definida em I tal que

para todo x pertencente a I

Teorema:

A primitiva de uma função, caso exista, não é única. Se F é uma primitiva de f em I, então

também é uma primitiva de f em I para qualquer constante K pertencente a IR, e estas são todas as primitivas de f em I:

Tabela simples de Antiderivadas:

                 

Polinómio de Taylor

O Teorema de Taylor estabelece que (sob certas condições) uma função pode ser aproximada (na proximidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo que o erro que se comete ao substituir a função pelo polinómio seja pequeno. 

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x = a,

http://www.youtube.com/watch?v=_8CWjRbeWW4

Regra de L'hôpital

A regra de l'hospital ou regra de Cauchy foi criada com o objectivo de calcular limites com indeterminações do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito.
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis com g'(x) ≠0,se:

Então se existir,

O video abaixo explica de forma mais concisa a regra de l'hospital:

http://www.youtube.com/watch?v=-TNbOIad3Oc

Primeira e segunda derivada

Extremos e primeira derivada


Podemos utilizar a primeira derivada de uma função para determinar se uma função é crescente ou decrescente num intervalo.
Seja f uma função que admite primeira derivada num intervalo aberto I:

• f'(x)>0,f é crescente em I
• f'(x)<0,f é decrescente em I
• f'(x)=0,f é constante em I

Nos pontos onde a função passa de crescente para decrescente ou vice versa, a função tem um extremo relativo. Os extremos relativos de uma função, incluem os mínimos relativos e os máximos relativos da função.

Se f tem um mínimo ou um máximo relativo em x=c, então ou f'(x)=0 ou f'(x)não esta definido.

Concavidade e a segunda derivada

Podemos utilizar a segunda derivada da função para determinar os intervalos em que as concavidades do gráfico estão voltadas para cima ou para baixo.

Seja f uma função que admite segunda derivada num intervalo aberto I:

• f''(x)>0,f tem concavidade voltada para cima em I
• f'(x)<0,f tem concavidade voltada para baixo em I

Para uma função f contínua, podemos calcular os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (Para uma função descontínua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f’’ (x) é zero ou é não definida.

Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia deve ser utilizada quando queremos calcular a derivada de uma função composta.

Os vídeos abaixo explicam com melhor precisão esta mesma regra: 

http://www.youtube.com/watch?v=IQitdam5vi8

http://www.youtube.com/watch?v=nofMntSlk98

Regras e propriedades de derivação

Regras de derivação de alguns diferentes tipos de funções:

Propriedades de derivação:

Derivadas

Definição de derivada:

Se uma função f é definida num intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0 denotada por f'(x0), é dada por:

Se o limite anterior:

• Existir e for finito, diz-se que f é diferenciavel no ponto x=x0
• Não existir ou for infinito, diz-se que a função não é diferenciavel  no ponto x=x0.

A derivada num ponto f'(x0) é igual ao declive da recta tangente à função no ponto x0.

Se f(x)=mx+b, então f'(x)=m

Para que a derivada num ponto exista é necessário que as suas derivadas laterais sejam iguais:

Derivadas Laterais:

• Derivada á esquerda de um ponto x0

• Derivada à direita de um ponto x0

Os limites laterais utilizam-se sempre que a função estiver definida por ramos e se pretender calcular a derivada no ponto de viragem;

Geometricamente a derivada lateral à esquerda (ou direita) é igual ao declive da recta semitangente à esquerda (ou direita) do ponto.

Notas:

• Uma função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste modo se uma função for descontínua num ponto então nunca terá derivada nesse mesmo ponto;
• Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio;

• Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c;

• Se f é contínua em c, não é necessariamente diferenciável em c.

Teorema do Confronto ou Teorema de Sandwich

Sejam f,g e h três funções tais que f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x≠a.

Se

Então

Exemplo:

A verde e a laranja temos as funções f(x) e g(x) não definidas em x=1, a rosa temos a função g(x) igualmente não definida em x=1.

Sendo:

Então qual é o valor de:

Pelo teorema do confronto: