Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

Se

Temos a classe das equações diferenciais separáveis e pode ser resolvida separando as variáveis e integrando.

A solução desta equação e obtida fazendo a mudança de variáveis

de modo que

substituindo (2) em (1), obtemos a EDO de variáveis separáveis:

a qual pode ser resolvida por integração directa.

O video abaixo mostra de forma clara as equações de variáveis separáveis.

http://www.youtube.com/watch?v=EqUlZNfdMdo

Equações Diferenciais Ordinarias

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação da forma

envolvendo uma equação incógnita y=y(x) e as suas derivadas. x é a variável independente e y a variável dependente e o simbolo y^(n) denota a derivada de ordem n da função y=y(x).

Ordem e grau de uma equação diferencial

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação.

Exemplos:

O video abaixo explica de uma maneira simplificada as EDO

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=XrTyH__v7J0

Campo de direcçõe

Em cada ponto (x,y) desenha-se um vector com declive igual a f(x,y). As soluções da equação diferencial serão as curvas tangentes a esses vectores em todos os pontos.

Por exemplo a equação

y'=y+x

produz o seguinte campo:

Teorema do Valor Médio

O teorema do valor médio ou teorema de lagrange afirma que se uma função é contínua num intervalo [a, b]e derivável no intervalo ]a, b[ então existe um c pertencente a  ]a, b[ tal que 

Teorema do valor médio para integrais

Exemplo:

Integral Indefinido

Dada uma função f, o integral indefinido de f (ou primitiva de f), é uma função F cuja derivada é f.

Representamos o integral indefinido (ou primitiva) de f por:

O integral indefinido de uma função não é único. De facto, se F(x) é integral definido de f(x) então F(x)+c também o é.

Integral indefinido imediato 

Dizemos que uma função tem integral indefinido imediato se o podermos calcular imediatamente considerando apenas as derivadas de funções já conhecidas, ou aoós algumas manipulações algébricas simples.

Alguns exemplos:

Integral Indefinido por partes

Integração por factores parciais

Esta técnica é bastante utilizada na resolução de integrais do tipo

Também se pode representar o integral por

Exemplo:

Teorema fundamental do calculo

Seja f(x) uma função real de variável real definida num intervalo [a, b]. Se F(x) é a sua primitiva, então

Exemplo:

Integral Definida

Seja f(x) uma função real de variável real, definida num intervalo [a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n sub intervalos da forma  ∆xi, tais que:

Chama-se soma de Reimann de f(x) em relação à partição P, a toda a expressão da forma

onde xi é um qualquer valor no intervalo ∆xi.

Chama-se Integral Definido de f(x) de a até b, e escreve-se

 

ao limite tal que

Nota: Se tal limite existe então dizemos que f(x) é integrável no intervalo  [a, b].

Propriedades do integral definido:

Antiderivada de uma função

Definição:
Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva ou uma antiderivada de f em I é uma função F definida em I tal que

para todo x pertencente a I

Teorema:

A primitiva de uma função, caso exista, não é única. Se F é uma primitiva de f em I, então

também é uma primitiva de f em I para qualquer constante K pertencente a IR, e estas são todas as primitivas de f em I:

Tabela simples de Antiderivadas: